Materialfestigkeit: Poisson-Verhältnis

Gummibänder, Plastikfolie, Bandagen, die zu den Knöcheln und Knien passen, wo wären wir ohne sie? Dies sind alles ziemlich neue Erfindungen, aber ihre elastischen Eigenschaften wurden lange bevor sie tatsächlich existierten vorgestellt.

Um die Wende von 19th Century, ein mathematisches Genie namens Siméon Denis Poisson, beschäftigte sich mit Mathematik auf höherer Ebene. Er arbeitete gern mit Kalkül- und Wahrscheinlichkeitstheorien und deren Anwendungen, und seine Arbeit führte schließlich zur Entdeckung seines eigenen besonderen Anteils, des “Poisson-Verhältnisses”. Heute mit dem griechischen Buchstaben “µ” bezeichnet, hat seine Entdeckung viel mit Elastizität zu tun. Tatsächlich entwickelte sich ein Großteil seiner Arbeit zum modernen Ingenieurstudium.

Wenn Sie sich an den Blog der letzten Woche erinnern, haben wir über die Elastizität von Materialien gesprochen, einschließlich Materialien, die Sie im Allgemeinen nicht als elastisch betrachten würden. In unserem Beispiel für eine Stahlstange haben wir gesehen, dass Sie die Enden einer Stahlstange mit ausreichender Kraft tatsächlich dehnen und verlängern können, wenn Sie daran ziehen. Aber woher kommt diese zusätzliche Länge?

Nach dem Poisson-Verhältnis nimmt sein Durchmesser mit zunehmender Länge des Stabes proportional ab. Die Längenzunahme des Stabes erfolgt auf Kosten seines Durchmessers. Sie können diesen Effekt in Aktion sehen, indem Sie das dicke Gummiband, dessen Aufgabe es ist, Ihre pralle Sonntagszeitung zurückzuhalten, wiederholt dehnen. Je mehr Sie daran ziehen, desto dünner wird der Gummi. Es wird irgendwann den Punkt erreichen, an dem seine elastischen Eigenschaften so beeinträchtigt wurden, dass es nicht einmal mehr in der Lage ist, das Papier vom Montag zu halten.

Im Laufe der Jahrzehnte seit Poissons Entdeckung wurden eine Vielzahl von Labortests durchgeführt, um µ für eine große Anzahl von Materialien zu bestimmen. Diese Werte wurden in technischen Nachschlagewerken ordnungsgemäß tabellarisch aufgeführt, sodass die heutigen Konstrukteure nicht mehr mühsam individualisierte Experimente durchführen müssen. Stahl hat beispielsweise ein Poisson-Verhältnis von etwa 0,28, und diese Zahl ist in den meisten Nachschlagewerken für Materialien verfügbar.

Es ist ziemlich offensichtlich, warum der Poisson-Beitrag für die Ingenieurwelt wichtig ist, aber jetzt wollen wir sehen, wie seine Beziehung angewendet werden kann.

Letzte Woche sahen wir eine 15 Fuß lange runde Stahlstange mit 2 Zoll Durchmesser, die sich bei einer konstanten Kraft von 60.000 Pfund um 0,115 Zoll dehnte. Das Poisson-Verhältnis sagt uns, dass dies zu einer gleichzeitigen Verringerung des Durchmessers führt, aber um wie viel? Um dies herauszufinden, multiplizieren wir einfach die gedehnte Länge des Stabes mit dem Poisson-Verhältnis für Stahl (µ = 0,28). Wenn wir diese Zahlen in eine Gleichung einfügen, sehen wir, dass der Durchmesser abnimmt um:

0,115 Zoll × 0,28 = 0,032 Zoll

Dies entspricht ungefähr der Dicke von neun Blatt Papier.

Wenn der Stab also einen Durchmesser von 2 Zoll hatte, bevor die Kraft von 60.000 Pfund angewendet wurde, wäre sein neuer Durchmesser nach dem Aufbringen der Streckkraft:

2 Zoll – 0,032 Zoll = 1,968 Zoll

Die Änderung des Stabdurchmessers um 0,032 scheint nicht viel zu sein, aber in der Welt der Maschinenteile könnte dies den Unterschied zwischen Teilen bedeuten, die richtig passen oder sich lösen.

Damit ist unsere kurze Serie über die Festigkeiten elastischer Materialien abgeschlossen. Das nächste Mal werden wir uns mit den Grundlagen von Kohlekraftwerken befassen, einem Bereich, in dem viele der Dinge, über die wir gesprochen haben, eine echte Bedeutung bekommen.

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